1. Las funciones y sus tipos.

1. Concepto de función

Una función es una correspondencia entre dos conjuntos A y B que asocia a cada elemento de A un solo elemento de B.

Se anota F: a --> b y se lee función del conjunto a en el conjunto B mediante F.

En una función Al conjunto de partida se le llama dominio, Al conjunto de llegada codominio y al Rango, Rango o recorrido.

2. Dominio de una relación.

En una relación R se llama dominio al conjunto formado por todas las primeras componentes que forman los pares que cumplen con dicha relación; se anota Dom(R).

3. Rango de una relación.

En una relación R se llama Rango al conjunto formado por toda las segundas componentes que forman los pares con dicha relación; se anota Rg (R).

4. Variable.

Es una letra que representa indistintamente a cualquiera de los elementos de dominio. La letra que más se usa es la x.

El dibujo representa una función de A en B.

F--> es el operador determinado por la fórmula, regla o ley que nos permite relacionar a los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto B.

A--> es El dominio de la función o conjunto de partida.

B--> es el codominio de la función o conjunto de llegada.

C --> es el rango recorrido de la variable que es el conjunto formado por todas las imágenes del dominio.

5. Clasificación de las funciones.

Las funciones se clasifican en sobreyectivas, inyectivas y biyectivas.

En las funciones sobreyectivas, todos los elementos del codominio tienen una o más contraimágenes en el dominio por lo cual el rango es igual al codominio.

En las funciones inyectivas, los elementos del condominio tienen una o ninguna otra imágen por lo tanto a elementos diferentes del dominio le corresponde imágenes diferentes en el condominio.

En las funciones biyectivas, cada elemento del codominio tiene una sola imagen en el dominio por lo tanto una función biyectiva es también inyectiva y sobreyectiva simultáneamente.

6. Aplicación de las funciones.

Dada la función F: N --> Z tal que g(x) = 2x+1. Indicar que clase de funciones son.

Si el dominio es N y el codominio es Z entonces podemos decir que:

g(x) = 2•x + 1

Para x = 0; g (0) = 2 • 0 + 1 = 1 pertenece a Z.

Para x = 1; g (1) = 2 • 1 + 1 = 3 pertenece a Z.

Para x = 2; g (2) = 2 • 2 + 1 = 5 pertenece a Z.

Entonces concluimos que: la función es inyectiva pero no es sobreyectiva, y como no es sobreyectiva, tampoco es biyectiva.

Dado x={2,-3,1/2,√2} y la función F: X --> R tal que F(x)= 3x - 2; hallar: a) las imágenes; b) El dominio; c) El codominio; d) El rango y e) El tipo de función.

Calculamos las imágenes de la función:

Para x = 2; f (2) = 3 • 2 - 2 = 6 - 2 = 4 un

Para x = -3; f (0) = 3 • (-3) - 2 = - 9 - 2 = -11

Para x = 1/2; f (0) = 3 • (1/2) - 2 = 3/2 - 2 = - 1/2

Para x = √2; f (0) = 3 • √2 - 2

Entonces:

A) Dom f = x

B) Codom f = R

C) Rango f = {4, -11, -1/2, 3√2-2}

D) La función es inyectiva pero no es sobreyectiva, por tanto, no es biyectiva.

7. Representación gráfica de funciones.

Función afín: Todas las funciones de la forma R --> R cuya representación gráfica es una línea recta se llaman funciones afines y su forma general es:

f (x) = y = a•x + b

Función inversa: la representación gráfica de la función inversa es simétrica con la gráfica de la función directa con relación a la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Función cuadrática: Es toda función de R --> R tal que: f(x) = y = a•x^2 + b•x + c en donde a ≠ 0; b,c pertenecen a R y su representación gráfica es una curva llamada parábola.